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책참 [1020565] · MS 2020 · 쪽지

2023-09-10 11:16:49
조회수 3,816
11

정적분으로 정의된 함수 (ft. 220620, 2111나20)

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/00064361819

$Zyh4KT1caW50X2FeeGYodClkdA==$

현 수능 수학에서는 연속 함수에 대해서만 적분을 다루기 때문에 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속인 함수라고 하겠습니다.

위의 수식이 지니는 의미는 단순합니다.

적분 구간 [a, x]에서 (혹은 구간 [x, a]에서) 함수 f(x)를 적분한 값이라는 뜻입니다.

미적분학의 기본 정리를 이용하면

$XGludF9hXmIgZih4KWR4PUYoYiktRihhKSBcIFwgKEYnKHgpPcQcKQ==$

주어진 함수 g(x)를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

$Zyh4KT1GKHgpLUYoYSk=$

그럼 해보고 싶은 것이 2가지 생깁니다.

하나는 x=a를 대입하여 우변을 0으로 만드는 것이고

$ZyhhKT1GKGEpLcQFPTA=$

다른 하나는 F가 f의 부정적분 중 하나이니 양변을 미분해보는 것입니다.

$ZycoeCk9RsQGLTA9Zih4KQ==$

이것이 교과서에 소개된 '정적분으로 정의된 함수'의 기본 내용입니다.

$Zyh4KT1caW50X2FeeCh4LXQpZih0KWR0$

만약 이런 식으로 g(x)에 변형을 주면 어떨까요?

t는 어차피 적분 변수이니 아래처럼 바꾸어도 상관 없습니다.

$Zyh4KT1caW50X2FeeCh4LXkpZih5KWR5$

혹은 아래처럼 바꾸어도 상관 없기 때문에 우리는 지금 상황에서의 t, y가 하고 있는 역할을 dummy variable이라고 하곤 합니다.

$Zyh4KT1caW50X2FeeCh4LXApZihwKWRw$

아까보다 상황이 조금 복잡해졌으니 적당한 x값을 대입해 상황을 파악해봅시다.

$Zyh4KT1caW50X2FeeCAoeC10KWYodClkdCBcXCBnKDHJHTEoMc8cMskcMiAoMs8dM8kdMyAoM80dLi4u$

앞선 상황과 달리 적분할 함수가 계속 변합니다.

따라서 우리가 바로 미적분학의 기본 정리를 적용하기에는 어려움이 있습니다.

x값에 따라 적분할 함수가 달라지니 미적분학의 기본 정리를 적용한 결과물도 달리지기 때문입니다.

$Zyh4KT1caW50X2FeeCAoeC10KWYodClkdCBcXCDKGVxsZWZ0KCB4xBwtdMQGIFxyaWdodCkgIGR0XFzJKsUiZHQtyBDFLMdOeMgV1iQ=$

그래서 우리는 상황을 단순하게 바라보기 위해 위와 같은 식 조작을 통해 x를 적분 밖으로 꺼내줄 수 있습니다.

어차피 t라는 dummy variable에 대한 적분이고 수능 수학에서 우리는 다변수 함수를 다루지 않기 때문에 위와 같은 생각을 이어갈 수 있습니다.

$XGludF9hXnggdGYodClkdD3JEWjFECBcXCA9SCh4KS1IKGEpxA7EA2ZyYWN7ZH17ZHh90kHLHSBcbGVmdCggy0FyaWdodMVJPUgnKHgpID1oKHgpPXhmKHgp$

함수 tf(t)에 대한 적분을 이와 같이 이해해주면

$ZycoeCk9XGludF9hXnggZih0KWR0K3hmKHgpLcUGIFxcINAg$

이와 같은 결론에 도달할 수 있습니다. 그리고

$ZycoYSk9XGludF9hXmEgZih0KWR0PTAgXFwgZycnKHgpPVxmcmFje2R9e2R4fSBcbGVmdCggRih4KS1GKGEpIFxyaWdodCk9Zih4KQ==$

첫 예시와 같은 맥락에서 이 또한 알아낼 수 있겠습니다.

선택과목이 확률과 통계 혹은 기하이신 분들을 위해 첨언하자면

$ZycnKHgpPVxsaW1fe2hcdG8gMH0gXGZyYWN7ZycoeCtoKS3ECCl9e2h9$

g''(x)는 g'(x)의 도함수이며 g(x)의 '이계도함수'라는 말을 쓰곤 합니다.

이제 한 단계 더 나아가봅시다.

$Zyh4KT1caW50X2FeeCAoeC10KV4yZih0KWR0$

이와 같은 상황은 어떻게 다루면 좋을까요?

앞선 'x는 변하기 때문에 적분 밖으로 꺼내주면 편하다'는 생각을 이어가면

$Zyh4KT1caW50X2FeeCAoeF4yLTJ0eCt0XjIpZih0KWR0IFxcIMohXGxlZnQoIHheMsQexCvECMQvxAggXHJpZ2h0KSDHN3heMiDJO8ZPLTJ4yhN0xhQryhHGSGR0$

이와 같은 식 조작을 해볼 수 있겠고

$ZycoeCk9MnhcaW50X2FeeCBmKHQpZHQreF4yZih4KS0yyRl0xhotMscbyCMgXFwgPSDRQtI6$

한 번 더 나아가

$ZycnKHgpPTJcaW50X2FeeCBmKHQpZHQrMnhmKHgpLcYHIFxcINEj$

라는 정보와

$ZycnKGEpPTJcaW50X2FeYSBmKHQpZHQ9MCBcXCBnJycnKHgpPTJmKHgp$

까지 정리해볼 수 있겠습니다.

혹은 g(x)가 다음과 같이 정의되어 있다면

$Zyh4KT1caW50X2FeeCh4LXQpIFxsZWZ0KCBmKMQMcmlnaHQpXjJkdCBcXCA9eMgr1iYgZHQtySJ010k=$

다음과 같은 정리가 가능하겠습니다.

$ZycoeCk9XGludF9hXnggXGxlZnQoIGYodCkgXHJpZ2h0KV4yZHQgK8sbeMsbLdcYIFxcIN9WZHQ=$

그럼 결론이 나오죠!

$ZycoYSk9MCBcXCBnJycoeCk9XGxlZnQoIGYoeCkgXHJpZ2h0KV4y$

추가로 우리가 어떤 함수의 도함수를 구해보는 이유가 주로 도함수의 부호 변동을 조사하여 원함수의 개형을 작성하기 위함인데

$XGxlZnQoIGYoeCkgXHJpZ2h0KV4yIFxnZSAw$

임을 이용하면

$ZycnKHgpIFxnZSAw$

임을 알 수 있어 함수 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하지 않음도 확인할 수 있겠습니다.

2022학년도 6월 20번입니다. 같은 방식으로 접근해봅시다.

$Zyh4KT1mKHgpIFxpbnRfYV54IFxsZWZ0KCBmKHQpIFxyaWdodCleNGR0Ld4iNWR0$

먼저 x에 관한 것들을 적분 밖으로 꺼내주고

$ZyhhKT0wIFxcIGcnKHgpPWbEBiBcaW50X2FeeCBcbGVmdCggZih0KSBccmlnaHQpXjRkdCvJGMQtxxg1LdUWxFzfV8hX$

적분 구간의 길이를 0으로 만들어보고 양변을 미분해보니 이와 같은 결과를 얻을 수 있었습니다.

$eD1hLCBcIFxpbnRfYV5hIFxsZWZ0KCBmKHQpIFxyaWdodCleNCBkdCA9MCBcXCBcZnJhY3tkfXtkeH3FOMgveMsv$

이제 바로 위 예시였던 상황에서 확인할 수 있던 도함수의 부호에 관한 정보에 초점을 두면

$XGZyYWN7ZH17ZHh9IFxpbnRfYV54IFxsZWZ0KCBmKHgpIFxyaWdodCleNGR4IFxnZSAw$

실수 전체의 집합에서 이것이 성립하기 때문에

$XGludF9hXnggXGxlZnQoIGYodCkgXHJpZ2h0KV40ZHQ=$

g'(x)를 구성하고 있는 이 함수는 실수 전체의 집합에서 감소하지 않는 함수임을 확인하실 수 있습니다.

이후 문제 풀이는 더 생각해보시면 좋겠습니다!

2021학년도 수능 나형 21번입니다. 마찬가지로 주어진 함수 g(x)를 정리해보면

$ZygwKT0wIFxcIGcnKHgpPTJ4XGludF9hXnggZih0KWR0K3heMmYoeCktxwjEK8smxiU=$

를 확인하실 수 있습니다.

그럼 마찬가지로 함수 2x와 함수 \int_a^x f(t)dt의 곱을 해석해 풀이를 이어갈 수 있겠죠!

p.s 내신 대비였다면 '라이프니츠 정리'였나? 해서 이와 같은 상황을 보다 빠르게 정리하는 공식을 알아두면 좋을 수도 있는데... 우리는 수능 수학 공부하고 있으니 거기까지 들어가진 맙시다 ㅋㅋㅋㅋ

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현 종 · 1093788 · 23/09/10 11:24 · MS 2021

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야스 백호! · 1231951 · 23/09/10 11:24 · MS 2023

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아인슈타인의 개구리 · 1202655 · 23/09/10 11:54 · MS 2022

형 나중에 기회되면 절댓값 들어간 것두 설명해줘요! 잘 읽고 가요!

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책참 · 1020565 · 23/09/10 12:06 · MS 2020

네! 근데 제가 주로 글에서 다루는 것들은 특별한 것이 아니라 교과서에서든 어떠한 자료에서든 유튜브 영상에서든 모두 확인할 수 있는 것이기 때문에.. '이 사람 이야기도 들어봐야지'가 아닌 '이건 어떤 내용이지?'라는 생각이 드시는 다른 분들께서는 구글, 유튜브 등 활용하여 미리 학습해보시기 바랍니다.

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담요 덮은 김동욱 · 1216491 · 23/09/10 12:04 · MS 2023

라이프니츠 규칙!

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책참 · 1020565 · 23/09/10 12:07 · MS 2020

고2 때 배웠던 것 같은데 기억 안 나네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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담요 덮은 김동욱 · 1216491 · 23/09/10 12:09 · MS 2023

구글에 치면 야무진거 많아용 은근 도움됨

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담요 덮은 김동욱 · 1216491 · 23/09/10 12:09 · MS 2023

그나저나 무슨 학교였나요ㅎㅎ

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책참 · 1020565 · 23/09/10 12:13 · MS 2020

경기도에 위치한 한 자율형 공립고등학교 나왔습니다!

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