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아탈란테 [278323] · 쪽지

2015-03-23 08:13:33
조회수 787

간단한 불연속 문제 질문입니다

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/0005826168

f(x) = -x^2+1 (x>0)

         0 (x=0)

         x^2-1 (x<0)

이럴 때 f(f(x))가 불연속인 점이 몇개냐를 찾는건데요


답지에는 곧바로 f(x)=0인 점에서 불연속이다 그러므로 x=-1, 0, 1에서 불연속이다

이렇게 해놨더라구요


근데 저는 x=-1, 0, 1에서 불연속일 가능성이 있다고 생각해서 일일이 다 조사해봤고

그나마도 f(f(x))가 x=0에서는 함수값 좌우극한 전부 0나와서 연속이다 라고 해버렸는데

좀 피곤하고 멍한 상태에서 풀어서 그런가 아무리 해도 함, 좌, 우 전부 0나오던데 말이죠


제가 뭔가 실수한건가요? 왜 x=0에서 불연속인가요?


그리고 왜 f(x)=0인 모든 x(=-1, 0, 1)에서 불연속인게 확정인가요?

일일이 다 조사해봐야 되는거 아닌지

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아탈란테 [278323]

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  • 지사의 · 531429 · 15/03/23 08:33 · MS 2014

    f(f(x))의 불연속을 조사하기 위해서 일단 f(x)의 불연속점을 조사해 봅시다
    문제의 조건에 따르면 함수f(x)는 x=0일 때 불연속이군요
    그렇다면 함수 f(f(x))는 f(x)=0일 때 불연속일 가능성이 매우 높습니다
    그에 따라 f(x)=0인 경우인 x=-1,0,1을 함숫값과 좌우극한값을 넣어보면 모두 불연속이므로 x=-1,0,1에서 불연속입니다

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  • Mercredi · 372419 · 15/03/23 10:52 · MS 2011

    x=0에서 연속 맞는거 같네요. 답지가 틀린듯. 이런 문제 연속 체크는 f(x)가 불연속인 x값들과, f(x)가 그 값들과 같아지는 x값들이 불연속점 후보가 되고 실제로 불연속인지는 체크를 해봐야되죠. 님 방법이 맞습니다.

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  • 아탈란테 · 278323 · 15/03/23 13:22

    '불연속점 후보'에 대해서 3가지 추가질문이 생겼습니다
    답변 좀 부탁드리겠습니다ㅠ

    1. g(x)가 x=a에서 불연속이고 f(x)가 x=b에서 불연속일 때
    g(f(x))는 x=b, f(x)=a가 되는 모든 x를 '불연속점 후보'로 두고 일일이 조사해봐야 연속여부 파악가능한것 맞나요?

    2. 위의 1번의 경우에서 f(f(x))는 x=b, f(x)=b가 되는 모든 x를 '불연속점 후보'로 두고 일일이 조사해봐야 연속여부 파악가능한가요? 즉, 같은 함수끼리의 합성이라고 해도 본문의 답지내용처럼 조사하지 않고 바로 불연속 판정을 내릴 수 있는 경우는 없다고 봐도 되나요?

    3. 위의 1, 2 두가지 예 외에도 합성함수의 불연속점 판정을 본문처럼 바로 해버릴 수 있는 특수한 예가 존재한다면 알려주셨으면 합니다

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  • Mercredi · 372419 · 15/03/23 14:50 · MS 2011

    1.네
    2.네.. 바로판단하기엔 위험부담이 있죠.
    3.그런 예야 만들려면 만들 수 있겠지만, 바로 판단하면 안되는 반례(본문의 문제도 그 중 하나)가 존재하기 때문에 일일이 체크해주는 게 안전할 거라고 생각합니다.

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  • 아탈란테 · 278323 · 15/03/23 13:18

    일단 두분 답변 감사합니다

    저도 '불연속점 후보'라는 개념을 갖고
    항상 저러한 합성함수 불연속 문제를 대해왔는데
    해설을 보니까
    저런식으로 불연속점 후보에 대한 언급 없이 바로 답을 내버린데다가
    그나마도 x=0에서는 연속판정이 나서 혼란스러웠는데

    두분 답변이 다르시네요 ㅎ; 끝까지 혼란스럽습니다

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