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제로콜라 [408120] · MS 2017 · 쪽지

2022-06-13 16:49:06
조회수 1,057

수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 35일차

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/00057123173



아래는 오늘 문제인 수특 수2 100p Level3 2번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.


삼차함수의 그래프는 항상 점대칭인 도형입니다.

점대칭의 기준점을 지나는 직선이 삼차함수의 그래프와 서로 다른 3개의 점에서 만날 때,

그 3개의 점들은 같은 간격입니다. 그러니까 가운데 있는 점이 나머지 두개의 중점이 되고요.

x좌표끼리 등차수열을, y좌표끼리 등차수열을 이루죠. 

그 직선과 삼차함수가 이루는 두 개의 넓이도 같게 됩니다.

이는 역으로도 성립하는데, 직선이 삼차함수의 그래프와 만나서 생기는 두 개의 넓이가 같거나

서로 다른 3개의 교점의 x좌표가 등차수열을 이루면 가운데 있는 점에 대해서 대칭인 삼차함수임을 알 수 있습니다. 




오늘 문제를 풀어볼게요.

f(x), g(x)가 모두 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로

h(x)=f(x)-g(x)는 삼차(또는 더 낮은 차수)함수가 됩니다.

그런데 (가)에 의해 h(x)=0의 해가 -2, 0, 2가 있으므로 h(x)는 삼차함수이고 x좌표가 같은 간격이니

위에서 말한 내용에 의하여 h(x)는 (0, h(0))에 대하여 점대칭임을 알 수 있습니다.

따라서 [0, 2]에서 h(x)를 정적분하여 넓이를 구한 후(필요하다면 부호 조정을 한 후) 2배 하면 됩니다.

g(x)는 (나) 조건에 의하여 y축 대칭, 우함수이므로 (다) 조건의

0부터 -1까지 g(x)를 적분하면 34/15가 된다는 것을

[0, 1]에서 g(x)의 정적분이 -34/15로 바꾸어 생각 할 수 있습니다.

h(x)=f(x)-g(x)=ax(x+2)(x-2)라 할 수 있고

[0, 1]에서 h(x)의 정적분은 [0, 1]에서 f(x)의 정적분인 37/30에서 g(x)의 정적분인 -34/15를 빼서

[0, 1]에서 h(x)의 정적분은 7/2가 됩니다.

[0, 1]에서 ax(x+2)(x-2)를 직접 적분하여 7/2가 된다고 하면 a=-2임을 알 수 있고요.

이제 우리가 구하는 것은 [0, 2]에서 h(x)=-2x(x+2)(x-2)를 정적분하여 넓이를 구한 후 2배하여 16이 됩니다.







아래는 관련 기출인 2022학년도 9월 평가원 모의고사 14번입니다.


봐주셔서 감사하고요

도움이 되셨다면 좋아요, 팔로우, 댓글 남겨주시면 큰 힘이 됩니다. 


[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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[수특 수2에서 배울거리를 정리해보자]

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