수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 17일차
아래는 오늘 문제인 수특 수2 57p Level3 4번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
삼차함수 비율 관계 내용 정리를 먼저 할게요.
삼차함수 비율 관계를 알고 있으면 계산이 간단해지는 경우가 있을뿐더러
삼차함수의 그래프에 대한 이해 자체가 깊어질 수 있습니다.
삼차함수에 접선을 그으면 접점 하나와 다른 교점 하나가 생기죠.
평행한 두 접선을 그으면 접점 2개, 교점 2개 해서 총 4개의 점이 생깁니다.
이때 두 접점의 중점을 찍으면 삼차함수 위의 점이 되고 이 점에 대하여 삼차함수가 점대칭입니다.
(미적분을 배운 학생이라면 이 점이 삼차함수의 변곡점이 됩니다.)
이 5개의 점이 x좌표가 등차수열을 이루어 모두 같은 간격이 됩니다.
보통 접점~접점, 접점~교점의 x좌표 간격으로 2:1로 많이 외우죠.
그러면 오늘 문제를 풀어볼게요.
두 극점 A, B에 대해 선분 AB를 대각선으로 하고 넓이가 4인 정사각형은 변의 길이가 2가 되죠.
정사각형이므로 AB의 기울기는 -1입니다.
점 B를 지나고 AB에 수직인 직선은 기울기가 1이 되며 원점을 지나므로 그 직선을 y=x라 할 수 있습니다.
따라서 점 B의 좌표는 B(k, k)라 할 수 있고, 점 A는 정사각형 밑변과 높이가 2임을 생각하면 A(k-2, k+2)가 됩니다.
이때 점 B에서 그은 접선이 만나는 다른 교점은 2:1 관계를 생각해보면 접점이 아닌 교점은 좌표가 (k-3, k)가 됩니다.
따라서 f(x)=k의 근은 x=k-3이고 x=k(중근)이 되므로
f(x)=a(x-k+3)(x-k)²+k가 됩니다.
f(k-2)=k+2를 대입하면 k+2=a×1×4+k가 되어 a=1/2입니다.
f(x)=1/2(x-k+3)(x-k)²+k에서 처음에 주어진 f(x)의 상수항이 2이므로
f(0)=-1/2k³+3/2k²+k=2 즉, (k-1)(k²-2k-4)=0입니다.
그런데 A, B의 x좌표가 유리수라고 했으므로 유리수인 k는 k=1가 됩니다.
따라서 f(x)=1/2(x+2)(x-1)²+1 이고 f(3)=11가 됩니다.
아래는 관련 기출인 2021년 교육청 모의고사 10월 10번입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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