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백경린(Dost) [448748] · MS 2013 · 쪽지

2014-03-08 12:21:19
조회수 10,440

[수학의 기준] 기출을 통해 무엇을 배워야 할까

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/0004406482


기출문제를 제대로 활용하는 방법..

 


 교과 과정의 기본 개념에 따라 
 어느 시험이든 기출문제를 분석하는 것은 가장 효과적인 공부 방법 중의 하나입니다.
그 시험의 성격을 가장 잘 파악할 수 있는 수단이 바로 기출 문제이기 때문이지요. 물론 수능시험도 예외는 아닙니다.

그렇다면 대학수학능력시험의 수학영역은 대체 어떤 능력을 측정하려는 시험일까요?

평가원의 출제 매뉴얼에 따르면 수학(수리)영역의 시험의 성격은‘고등학교까지의 수학 학습에서 배운 기본 개념·원리·법칙을 이해하고 이를 적용하여 문제를 해결하는 능력을 평가하는 것’입니다.

 

 너무도 당연한 얘기로 들리겠지만, 실제로 수능시험장에서 이러한 시험의 성격을 당연하게 받아들이고 실천에 옮기는 학생은 그리 많지 않습니다.

정말로 교과 과정에서 배운 기본 개념·원리·법칙을 이해하고 적용할 줄만 알면 모든 문제가 풀린다는 데 대한 확신이 없기 때문입니다.

우리가 기출문제를 통해 반드시 확인해야 하는 것이 바로 여기에 대한 확신입니다.
-‘내가 배우고 이해한 내용만으로 정말 문제들이 다 풀리는구나!’

 

이러한 확신이 없이 문제를 풀다 보면 막히는 부분이 나올 때마다 내가 아직 배우지 못한 뭔가 새로운 내용을 적용해야 되는 것이 아닌지 자꾸 의심이 들게 됩니다.

그리고 그것을 찾아내려고 새로운 고민을 하게 되면 문제가 요구하는 방향과는 더더욱 멀어지기가 쉽지요.

 

 따라서 기출문제를 공부할 때는 우선적으로 풀이의 근거가 모두 교과 과정의 기본 개념과 원리에 담겨 있는 지를 꼭 확인해 볼 필요가 있습니다.
물론 자신이 이해하고 있는 기본 개념의 범위가 교과 과정보다 더 넓다면 거기에 기준을 맞추면 되지만, 가능하면 문제 해결에 필요한 내용을 최소화시키는 것이 대다수의 학생들에게는 훨씬 유리합니다.

  
 확신이 들지 않는 경우에는 
 그런데 풀이의 근거를 하나하나 점검하다 보면 이것이 과연 교과 과정의 개념만으로 해결이 가능한 것인지 의문이 생기는 경우가 종종 발생하게 됩니다.

그 대표적인 예로 2011학년도 9월 평가원 문항(그 이름도 유명한 스티커 문제)을 들 수 있습니다.

(가능하면 설명을 보기 전에 문제를 잠시라도 풀어보시기 바랍니다)


 

2011학년도 9월 평가원

주머니 안에 스티커가 1개, 2개, 3개 붙어 있는 카드가 각각 1장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 1장을 꺼내어 스티커 1개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 3으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 A라 하자.

시행을 6번 하였을 때, 1회부터 5회까지는 사건 A가 일어나지 않고, 6회에서 사건 A가 일어날 확률을 구하시오.


  
  

 

                                                                                                                                                

 문제를 읽어 보니, 자칫하면 1회부터 6회까지의 모든 경우의 수(총 729가지)를 다 헤아려 봐야할 것 같군요. 하지만 문제당 평균 3분 정도의 풀이 시간을 요구하는 시험, 그것도 수학시험에서 그런 것을 요구할 리는 없습니다.

일단은 사건 A가 일어나는 어떤 규칙성이 존재한다는 가정 하에 접근하는 것이 바람직합니다. (사실 이러한 가정은 모든 수학적인 법칙의 대전제와도 같으며, 고교 과정에서는 특히 수열 단원에서 그 원리를 자주 접하게 됩니다.)

 

그렇다면 사건 A가 일어나는 경우부터 조사해 봅시다.

이때, 사건 A는 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수가 아니라 그것을 3으로 나눈 나머지에 따라 결정되므로 카드에 붙어 있는 스티커의 개수는 사건 A의 결정요소인 나머지만으로 표현하겠습니다.

즉, 카드0 은 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 3으로 나눈 나머지가 0이고, 카드1 은 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 3으로 나눈 나머지가 1임을 뜻합니다.

사건 A가 일어나는 경우는 아래와 같이 시행 후에 모두 카드1이 되거나 모두 카드2 또는 모두 카드0이 되는 세 가지밖에 없습니다.



 그런데 보이는 바와 같이 처음 (카드1,카드2,카드0)의 상태에서 사건 A가 일어나기 위해서는 반드시 3장의 카드가 필요합니다.(규칙성을 찾았습니다!!)

따라서 1회와 2회의 시행에서는 절대 사건 A가 일어날 수 없으며, 3회의 시행 후 사건 A가 일어날 확률은 세 문자 +1, +1, +1 중 두 개를 세 카드 중 하나에 배열하는 방법의 수와 같습니다. (계산 과정은 생략)

 

   ∴ P(A)=1/3

그러므로 3회의 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은

    P(A^C)=2/3

 

이때, 3회의 시행 후 사건 A가 일어나지 않는 경우는 아래와 같이 3개의 스티커를 모두 다른 카드에 붙이거나 모두 같은 카드에 붙이는 두 가지밖에 없습니다.

따라서 3회의 시행에서 사건 A가 일어나지 않으면, 세 장의 카드는 3으로 나눈 나머지가 다시 처음 (카드1,카드2,카드0)의 상태와 같아집니다.

결국, 5회까지 사건 A가 일어나지 않고, 6회에서 사건 A가 일어날 확률은 3회까지 사건 A가 일어나지 않고 그 이후의 3회에서 사건 A가 일어날 확률과 같습니다.

 

   ∴ P=P(A)×P(A^C)=(2/3)×(1/3)=2/9

 

결론적으로 문제에서 묻고 있는 시행은 확률이 일정한 독립시행이었던 것입니다.

(교과 과정에서 여러 번의 시행을 반복했을 때의 확률에 대한 개념이 독립시행의 확률밖에 없음을 알고 있었다면 조금 더 접근하기가 수월했을 것입니다.)



 주어진 상황을 그것을 결정하는 요소(변수)로 표현하려는 것은 수열의 일반항을 찾거나 방정식(또는 함수)을 구성할 때 매번 다뤄지는 원리이며(지난칼럼 '개념을 효과적으로 공부하는 방법' 참조), 자연수를 특정한 수로 나눈 나머지에 따라 분류하는 것 역시 짝수와 홀수의 개념을 정확히 이해하고 있다면 전혀 새로울 것이 없는 내용입니다.

(이와 같이 여러 단원의 개념들이 통합되어 풀이의 근거를 혼자의 힘으로 확인하기 어려운 문제에 대해서는 주변의 도움을 적극적으로 이용할 필요가 있습니다.)


기출분석의 관건은 내가 알고 있는 내용만으로 문제가 다 풀린다는 것을 '스스로 확인'하는 것이며, 여기에 대한 확신이 생겼을 때 수능에 대한 두려움은 대부분 사라질 것입니다!



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백경린(Dost) [448748]

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