[박수칠] 순열/조합 단원과 확률 단원에서 ‘경우의 수’ 세기

오르비언 여러분~ 새해 복 많이 받으세요!

다들 설 연휴는 무사히(?) 보내셨는지 모르겠습니다.

친척들과 다양한 얘기를 나누셨을텐데…

좋은 것이든, 나쁜 것이든

지금의 나에게 도움이 될 만한 것은 머리 속에 새기고,

그렇지 않은 것은 빨리 잊으세요 ^^

오늘 할 얘기는 ‘경우의 수’에 대한 것입니다.

‘순열/조합 단원’에서는 같은 경우로 봤던 것을

‘확률 단원’에서는 다른 경우로 구분해야 할 때가 있죠?

왜 그렇게 해야 하는지 여기서 설명드리겠습니다.

먼저 순열/조합 단원에서 경우의 수를 셀 때는 ‘눈’이 기준입니다.

눈으로 봐서 구별이 안되는 대상들은 뽑거나 나열할 때

순서가 바뀌더라도 같은 경우라는 얘기죠.

반면에 확률 단원에서 경우의 수를 셀 때는 ‘대상’이 기준입니다.

눈으로 봐서 구별이 안되더라도 뽑거나 나열할 때의

순서가 바뀌면 다른 경우로 봐야 합니다.

이해를 돕기 위해 예를 들어 봅시다.

아래 그림과 같이 상자 안에 흰 공, 빨간 공, 파란 공이 1개씩 들어있습니다.

(각각의 공은 크기, 모양 등이 일정하고 색상만 다릅니다.)

여기서 공 1개를 꺼내는 시행을 합니다.

그럼 순열/조합 단원에서든, 확률 단원에서든 일어날 수 있는 경우의 수는

흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우

세 가지로 똑같습니다.

다음으로 상자에 흰 공 1개를 추가해서

흰 공 2개, 빨간 공 1개, 파란 공 1개가 되도록 합니다.

여기서 공 1개를 꺼내는 시행을 하면 경우의 수는 어떻게 될까요?

순열/조합 단원에서라면 흰 공 2개를 구별 할 수 없기 때문에 경우의 수는

흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우

세 가지로 변함 없습니다.

하지만 확률 단원에서는 다릅니다. 흰 공 2개를 서로 다른 것으로 봐야 하기 때문에

흰 공이 나오는 경우 두 가지, 빨간 공이 나오는 경우 한 가지, 파란 공이 나오는 경우 한 가지

총 네 가지가 됩니다.

이제 공을 더 늘려서

흰 공 3개, 빨간 공 2개, 파란 공 1개가 되도록 합니다.

여기서 공 1개를 꺼낼 때의 경우의 수도

순열/조합 단원에서라면

흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우

세 가지로 변함 없지만,

확률 단원에서라면 같은 색의 공들을 서로 다른 것으로 봐야 하기 때문에

흰 공이 나오는 경우 세 가지, 빨간 공이 나오는 경우 두 가지, 파란 공이 나오는 경우 한 가지

총 여섯 가지가 됩니다.

그렇다면… 이런 의문이 생깁니다.

왜 확률 단원에서는 대상을 기준으로 경우의 수를 세야 하지?

이것은 ‘수학적 확률’의 전제 조건 때문입니다.

각각의 경우가 일어날 ‘가능성’이 같아야 한다는 것이죠.

상자 속에 흰 공, 빨간 공, 파란 공이 1개씩 들어있을 때 공 1개를 꺼내면

흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우

가 일어날 가능성은 같습니다.

하지만 흰 공 2개, 빨간 공 1개, 파란 공 1개가 들어있을 때 공 1개를 꺼내면 

흰 공이 나오는 경우, 빨간 공이 나오는 경우, 파란 공이 나오는 경우

가 일어날 가능성은 다릅니다.

흰 공이 다른 공보다 많기 때문에 흰 공이 나올 가능성이 커지는 것이죠.

이때는 흰 공 2개를 서로 다른 것으로 보고

흰 공이 나오는 경우 두 가지, 빨간 공이 나오는 경우 한 가지, 파란 공이 나오는 경우 한 가지

총 네 가지 경우가 일어나는 것으로 봐야 각 경우가 일어날 가능성이 같아집니다.

그래서 흰 공이 나올 확률은 2 / 4 = 1 / 2이 됩니다.

그럼 기출 문제 하나 풀어봐야죠.

다음은 2007학년도 수능 9월 모평 나형 문제입니다.

순열/조합 단원에서처럼 경우의 수를 따진다면

같은 색 구슬끼리 서로 구별할 수 없기 때문에 모든 경우의 수는

흰 구슬만 3개 나오는 경우, 흰 구슬 2개와 검은 구슬 1개가 나오는 경우,

흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개가 나오는 경우, 검은 구슬만 3개 나오는 경우

총 네 가지가 되고, 흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개가 나올 확률은 1 / 4이 됩니다.

하지만 각 경우가 일어날 가능성이 다르기 때문에 위 확률은 틀렸죠.

(흰 구슬이 4개, 검은 구슬이 5개이므로 흰 구슬이 3개 나올 가능성보다

검은 구슬이 3개 나올 가능성이 더 높음을 알 수 있습니다.)

확률 단원에서처럼 경우의 수를 따진다면

색상에 관계 없이 각각의 구슬을 서로 다른 것으로 보기 때문에

모든 경우의 수는 9개의 구슬 가운데 3개의 구슬을 선택하는 방법의 수 ₉C₃과 같고,

흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개를 선택하는 경우의 수가 ₄C₁x₅C₂이므로

확률은 ₄C₁x₅C₂ / ₉C₃ = 10 / 21이 됩니다.

이쪽이 옳은 확률이죠.

다른 예로 넘어가서…

대상을 나열하는 시행에 대해서도 알아봅시다.

다들 알고 있다시피

세 개의 문자 A, B, C를 한 줄로 나열하는 방법의 수는

순열에 의해 3! = 6가지입니다.

여기에 A를 추가해서

네 개의 문자 A, A, B, C를 한 줄로 나열하는 방법의 수를 생각해볼까요?

순열/조합 단원에서라면 2개의 A를 구별할 수 없기 때문에

같은 대상이 있는 순열에 따라 4! / 2! = 12 가지가 됩니다.

하지만 확률 단원에서는 2개의 A를 서로 다른 것으로 보고

순열에 따라 4! = 24가지로 세야 하죠.

왜냐? 여기서도

‘각각의 경우가 일어날 가능성이 같아야 한다’

는 전제가 적용되기 때문입니다.

A, A, B, C를 한 줄로 나열하는 방법 가운데 하나인 BCAA에서

B와 C의 자리를 바꾸면 CBAA가 되고 BCAA와 다른 경우가 됩니다.

그렇다면 A와 A의 자리를 바꿀 때도 다른 경우로 취급해야

B, C의 자리를 바꿀 때와 대등한 관계가 되고, 가능성이 같아지는 겁니다.

(2개의 A를 A와 A’으로 구분하면 쉽게 이해됩니다.)

마지막 예로

크기가 다른 2개의 주사위를 던지는 시행을 생각해봅시다.

시행의 결과를 순서쌍 (큰 주사위의 눈, 작은 주사위의 눈)으로 나타내면

 (1, 1)부터 (6, 6)까지 총 36가지 경우의 수가 있음을 알 수 있습니다.

물론 각각의 경우가 일어날 가능성도 똑같습니다.

순열/조합 단원이든, 확률 단원이든 마찬가지죠.

그럼 똑같이 생긴 2개의 주사위를 던지는 시행은 어떨까요?

순열/조합 단원에서라면 두 주사위를 구별 할 수 없기 때문에

1과 2의 눈이 나올 때, 2와 1의 눈이 나올 때를 같은 경우로 봅니다.

따라서 모든 경우는

1과 1,  1과 2,  1과 3,  1과 4,  1과 5,  1과 6,

          2와 2, 2와 3, 2와 4, 2와 5, 2와 6,

                    3과 3, 3과 4, 3과 5, 3과 6,

                              4와 4, 4와 5, 4와 6,

                                        5와 5, 5와 6,

                                                  6과 6

총 21가지가 되고, 1~6의 눈 가운데 중복을 허락해서 2개의 눈을

선택하는 경우의 수 ₆H₂=₇C₂와 같습니다.

물론 각각의 경우가 일어날 가능성은 같지가 않지요.

하지만 확률 단원에서라면 두 주사위를 서로 다른 것으로 보기 때문에

1과 2의 눈이 나올 때, 2와 1의 눈이 나올 때를 다른 경우로 봅니다.

따라서 모든 경우는

1과 1,  1과 2,  1과 3,  1과 4,  1과 5,  1과 6,

2와 1, 2와 2, 2와 3, 2와 4, 2와 5, 2와 6,

3과 1, 3과 2, 3과 3, 3과 4, 3과 5, 3과 6,

4와 1, 4와 2, 4와 3, 4와 4, 4와 5, 4와 6,

5와 1, 5와 2, 5와 3, 5와 4, 5와 5, 5와 6,

6과 1, 6과 2, 6과 3, 6과 4, 6과 5, 6과 6

총 36가지가 되고, 1~6의 눈 가운데 중복을 허락해서 2개의 눈을

선택하고 나열하는 경우의 수 ₆Π₂와 같습니다.

여기서는 각각의 경우가 일어날 가능성이 똑같죠.

위 예처럼 순열/조합 단원에서는

똑같이 생긴 2개의 주사위를 던지는 시행에서 경우의 수를 세는 것이

까다롭기 때문에 ‘서로 다른’ 2개의 주사위를 던지는 시행만 다루는 것이 보통입니다.

간단한 글이 될 줄 알았는데 의외로 길어졌네요.

기본 개념 다지는 시기라 확률과 통계 부분 공부하시는 분들도 많을텐데

이 글이 개념 이해에 도움이 되었으면 합니다.

감사합니다 ^^