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꺾이지 않는 마음 [1193639] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2024-07-30 01:31:18
조회수 13,990

미분가능과 도함수연속성

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/00068839810

일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다


이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다


미분가능하다의 정의는 

1. 연속

2. 모든 실수 a에 대하여 가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)


사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠


도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인


를 확인해주면 됩니다

결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다

그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?

도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다

(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)


그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다


하지만 첫 줄에서 말했듯

미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다

미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠

왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?


그 이유는




일수도 있기 때문입니다

분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠 

f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다 

그 예시는 밑에 보여드리겠습니다


다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다


미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다

미분계수의 정의를 이용하면

이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다


하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면

이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다

결국 

임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다


매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다

사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다

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