칼럼) 수능 수학 풀이 최적화 본편

https://orbi.kr/00063694875

이 글을 쓰게 된 Motivation과 최적화 연습을 하기 전 여러분이 가져야 할 마음가짐에 대한 것은 위에 예고편 링크를 첨부하였으니 참고 부탁드립니다.

사실 이 글은 제목은 뭔가 그럴듯해 보이지만 그냥 제가 수능 수학 문제를 받아들이고 풀어내는 방식을 설명하는 것과 다를 바가 없습니다. 어그로 끌려고 이름을 저렇게 지었습니다.

0. 풀이 최적화의 원칙

"풀이 최적화"라는 것을 하기 위해서는 다음 원칙들을 지켜주셔야 합니다.

0) 자기 객관화

제가 예고편에서 말했듯이 이걸 할려면 피지컬과 수학적 센스가 받쳐줘야 합니다. 물론 천부적인 센스가 필요한 것은 아니고 제가 설명하는 거 못 알아듣겠으면 그냥 보시다가 뒤로 가기 누르고 양치기 하러 가시면 됩니다.  

1) 풀이는 손이 아닌 머리로 하는 것

예고편에서도 이야기 했지만 준킬러급 문제들부터는 보자마자 들이받는 습관 고치세요. 물론 조건을 보고 그에 대한 간단한 팩트를 옆에 적어놓는 것은 괜찮지만 풀이로 들어가버리면 막혔을 때 제대로 막혀버릴 가능성이 큽니다.

특히 케이스 분류를 할 필요가 없는 문제에서 노가다로 푸시는 분들 주의해주세요.

2) 조건으로부터 파생되는 논리적인 사고 과정

수능 수학은 수학 개념을 활용한 퍼즐입니다. 퍼즐을 다 대입하는 사람이 있고 넓은 시야를 가지고 금방 맞추는 사람이 있듯 주어진 조건으로 답을 도출해내는 과정이 사람에 따라 다릅니다. 조건(발문) 해석을 정확히 하고 그것을 잘 표현하기만 해도 풀이를 많이 줄일 수 있습니다.

3) 수학적 개념을 활용한 풀이 도구의 확보 

수능은 수학이 아니기 때문에 논리적 사고에 더하여 계산량을 줄여줄 풀이 스킬들이 존재합니다. 대표적으로 삼차함수 비율 관계가 이것에 해당합니다. 흔히 실전 개념이라고 하는 단계의 강의를 수강한 수준 정도는 되어야 최적화가 가능할 것 같습니다. 아래에서도 삼차함수의 변곡점과 평균값 정리라는 것을 모르면 풀이가 좀 산으로 가는 경향이 많이 보입니다. 당연히 알기만 하면 안 되고 이러한 것들은 문제에 적용하는 힘을 기르는 "풀이 연구"를 좀 하셔야 합니다.

1. 조건 해석과 풀이의 전개

조건을 보고 내가 아는 수학적 개념을 활용하여 이해하기 쉬운 언어로 변환하는 과정이 필요합니다. 또는 그 조건으로부터 파생되는 조건들이 있는데 그것까지 문제에 손을 대기 전에 살펴보는 것이 좋습니다.

Ex) 2023학년도 대학수학능력시험 수학 영역 22번

이 문항에서 조건을 정리하면,

1) f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수

2) g(x)는 연속함수

3) f'(g(x))는 f(x)의 평균변화율

4) g(x) 치역의 원소는 5/2 이상

5) 함숫값

그냥 값들은 최종적으로 계산을 할 때 활용이 될 확률이 높으며, 문제 풀이의 전개는 보통 식 (주로 항등식)으로부터 시작할 확률이 높습니다.

수능에서는 모든 조건을 다 사용하려고 노력해야 합니다. 즉, 조건을 어떻게 사용할지에 대한 고민이 선행되어야 하며 굉장히 중요합니다. 

삼차함수 조건은 단순히 삼차함수 깔아놓고 미지수 찾으라는 게 아니라 성질을 충분히 활용할 대비를 하고 있어야 하며, 연속함수 조건 같은 것도 괜히 주는 게 아니라는 점을 좀 의식하셨으면 좋겠습니다. 즉, 연속의 정의나 연속함수의 성질 (사잇값 정리의 성립) 등을 이용할 여지를 열어둬야 합니다.

사실 너무나 당연한 말이지만, 수학 교과서에 등장하는 정의와 정리는 모두 외우고 있어야 하며 필요할 때 떠올릴 수 있어야 합니다.

조건에 따른 풀이 전개는 다음과 같습니다.

1) f(x)가 삼차함수이므로 도함수 f'(x)는 연속이며, g(x)가 연속이므로 연속함수 둘의 합성인 f'(g(x)) 역시 연속함수이다. 연속의 정의를 이용하면, 

2) g(x)라는 함수는 f(x)에 대하여 평균값 정리를 만족시킨다. (접선이 아닌) 일반적인 케이스에서 삼차함수에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 2개인데, g(x)는 연속함수이며 삼차함수는 변곡점에서 기울기가 최소이므로 이 문제에서 g(x)가 변곡점 x 좌표 값을 가질 수가 없다. 즉, 변곡점을 기준으로 왼쪽에만 또는 오른쪽에만 위치해야 한다. (왔다 갔다 할 수 없다는 의미이다.) 

같은 맥락에서 변곡점의 x 좌표는 1보다 크다. g(x)가 1보다 항상 큰데, 변곡점의 x 좌표가 1보다 작을 경우에 항등식 (가)를 만족시키는 g(x)가 1보다 작은 경우가 필연적으로 존재하기 때문이다. (접선을 생각하자) 

1이 변곡점 x 좌표보다 작기 때문에 이제 g(x)는 변곡점 x 좌표보다 크다고 생각하면 된다.

3) f'(x)가 이차함수이고, g(x)가 연속함수이며 최솟값으로 변곡점 x 좌표보다 큰 5/2를 가지므로 (항상 f'(x)의 축보다 오른쪽에 있으므로), 이제 f'(g(x))는 g(x)와 증가 감소 경향이 같다고 할 수 있다. 즉, g(x)가 증가하면 f'(g(x))가 증가하며, g(x)가 최소일 때 f'(g(x))가 최소이다.

4) 평균 변화율의 최소는 점 (1, f(1))에서 그은 x=1이 아닌 곳에 접하는 접선의 기울기이다. 여담으로 이건 이 문제뿐만 아니라 그냥 일반화가 가능하니 알아두면 좋다. (그래서 기출로 이런 생각들을 하면서 공부하라는 거다.)

5) 3번과 4번을 조합하면, f(x)의 x=5/2에서의 접선이 (1, f(1))을 지남을 알 수 있다.

6) 마무리 계산은 삼차함수를 미지수 놓고 주어진 값 또는 풀이 전개에서 나온 값(1번과 5번)들을 이용해 계산하면 된다.

사실상 풀이 전개에서 대부분은 사고, 즉 머리 속에서 처리가 되어야 하고 무작정 써내려가는 것은 좋지 않습니다. 이 문제도 허수 풀이를 보면 1의 위치를 나누고 그려서 보는 사람도 있던데 그런 짓 하면 세월아 네월아 풀면서 문제 조건을 누락한 생각을 하기 십상입니다.

다만, 처음부터 끝까지 사고 과정이 정돈된 풀이처럼 정렬되어 있어야 하는 것은 아니고, 각각의 조건에 대하여 우선 생각을 해보고 특정 조건은 다른 조건을 이용하여 해석해야겠다 (단독으로 해석이 어려운 경우 => 위 문항의 나 조건 같은 것) 싶으면 다른 조건으로 회귀해도 됩니다.

나온 조건들을 보고 이 조건들을 어떻게 사용하는 것이 좋을지 먼저 생각하고, 여백을 사용하는 것은 그래프를 그리거나 수열의 항을 나열하는 등 시각적으로 사고를 돕는 것과 계산 뿐입니다.

물론 계산만으로 밀고 나가는 4점 문항들도 없잖아 있지만, 그것을 판단하는 것조차 이런 실력을 갖춰야 시험장에서 더 순조롭게 됩니다.

가장 중요한 것은 수능 수학은 조건을 다 사용하여 풀어내는 퍼즐이라는 점 기억해주시길 바랍니다.