실수는 일반적으로 스칼라가 맞습니다
고등학교 때도 그렇게 공부했고 대학 와서도 그렇게 공부했고 처음에 배울 때도 그렇게 배웠으며 누구한테 설명해줄 때도 그렇게 설명해서 제가 잘못 알고 있었나 싶었는데 검색해보니 실수는 일반적으로 스칼라로 다루는 것이 맞습니다.
단, 벡터로'도' 다룰 수 있으며 이는 선형대수학에 한정한 특수한 경우임을 밝히고 있습니다. 제가 이 부분을 몰랐습니다, 배움이 부족했네요... 가르쳐주셔서 감사드립니다! (특히 푸아송괄호 님과 너만킷 님께 감사드립니다)
따라서 일반적인 상황에서는 실수를 벡터가 아닌 스칼라로 다루는 것이 맞습니다. 그리고 벡터에 속하는 대표적인 물리량이 위치, 변위 (=위치의 변화량), 속도, 가속도이며 물리학으로 조금 넘어가보면 힘, 운동량, 충격량 등도 포함됩니다. 스칼라에 속하는 대표적인 물리량은 시간, 속력, 이동거리가 있으며 물리학으로 조금 넘어가보면 일, 에너지와 모든 벡터로 분류되는 물리량의 크기 등도 포함됨을 확인하실 수 있습니다.
이러한 관점에서 바라볼 때 이번 [2024학년도 6월 14번]은 '잘 생각해보니 뭔가 이상하지 않냐, 오류 아니냐'라는 생각을 충분히 할 수 있던 문제입니다. 물론 오류는 아닙니다. 수학2 교과서에서 1차원 운동에 도함수를 적용할 때 다음과 같이 설명하고 있습니다.
에 대해
위와 같이 각 물리량을 정의합니다. 이때 엄밀히 말하면 각 물리량이 벡터 혹은 스칼리임을 구분하기 위해 벡터에 속하는 물리량 위에는 화살표를 표시해주어야합니다.
이렇게 되면 '어떻게 벡터를 미분하냐'라는 의문이 드실 수 있습니다. 미적분학을 공부해보시면 n차원 벡터 함수의 도함수는 다음과 같이 정의합니다.
따라서 고등학교 미적분에서 2차원 운동에 도함수를 적용할 때에도 다음을 소개하는 것입니다.
이때 벡터의 크기는 주어진 벡터의 시점 (initial point) 과 종점 (terminal point) 사이의 거리로 정의하기 때문에 속도함수의 크기는 다음과 같이 표현하곤 합니다.
그에 따라 이동거리를 구하는 식은 조금 복잡해집니다.
다시 수학2에서 다루는 1차원 운동으로 돌아와서 이번 [2024학년도 6월 14번]이 문제 오류가 아니냐는 이야기가 나온 이유는 다음과 같습니다. 위치의 변화량은 벡터이고 벡터에 관한 대소 비교를 하려면 벡터의 크기를 묻든 해야한다. 1차원 운동에서는 방향을 +와 -로 나타내곤 하는데 이 방향을 나타내는 + or -를 갖고 대소 비교에 써버리면 그것은 오개념 아닌가? 참고로 2차원 이상에서의 운동을 서술할 때는 방향이 무한가지이기 때문에 벡터를 이용해 방향을 나타내곤 합니다.
위에서 살펴본 내용에 따르면 이 질문은 자연스러워 보입니다. 하지만 문제는 오류가 아니고 그 이유는 일반적으로 실수는 벡터가 아닌 스칼라로 분류되지만 수학2 교과서에서 변위는 정적분값으로 정의한다. 정적분값은 실수다. 따라서 대소 비교가 가능하다. 또한 선형대수학 속 논리와 같은 일부 상황에서는 실수를 벡터로 분류할 수도 있다.
이 이유가 정확하진 않더라도 저는 현재까지 확인해본 설명 중 가장 타당하다고 느꼈습니다.
이 문항은 [2022학년도 수능 예시 문항 14번]인데 ㄷ 선지를 보시면 변위라는 벡터와 이동 거리라는 스칼라를 비교하고 있음을 확인할 수 있습니다. 이 또한 수학2 교과서에서 변위와 이동거리의 차이를 속도 함수를 그냥 적분했는지 절댓값을 씌워서 적분했는지의 차이 정도로만 다루고 있기 때문에 문제 없이 넘어갔던 것으로 생각합니다.
다시 말해 이번 6모 14번의 오개념과 관련한 논의는 아래의 결론으로 귀결됩니다!
1. 수학2 교과서에 기반할 때 오류 아니다.
2. 위치의 변화량은 크기만을 갖는 스칼라가 아닌 크기와 방향을 갖는 벡터로 분류되는 물리량이다.
3. 일반적으로 실수 (real number) 는 스칼라로 분류한다.
4. 선형대수학 속 논리와 같은 일부 상황에서는 실수를 벡터로 분류하기도 한다.
본문 설명에 오류가 있다면 댓글로 말씀해주시기 바랍니다. 감사합니다!
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처음에 문제 제기 하신 부분 충분히 생각해볼 만한 부분이고 수험생 분들도 얻어갈 것이 많은 고민이라고 느꼈는데 다들 너무 '교과서에 그렇게 나와있는데 왜 굳이 고민함?', '교과서도 똑바로 안 보고 왜 오개념 주장함?' 흐름으로 물타기 된 듯 ㅋㅋㅋㅋ 익명 커뮤니티와 대부분의 사람들의 성향에 대한 한계라고 생각해요
실수를 벡터라고 말할 수 있다니 신기하더라구요! 고등학교 기하에서도 제대로 학습을 하다 보면 벡터의 실수배를 배울 때 실수를 '스칼라'라고 밝히고 있음을 확인할 수 있는데 선형대수학에서 실수를 벡터로 취급하는 경우가 있음을 갖고 무작정 '실수를 벡터라고 할 수 있다'라는 이야기를 들으니.. 잘 납득이 되지 않더라고요
결론: 실수는 일반적으로 스칼라로 분류되며 경우에 따라 벡터로 분류할 수도 있다. 수학2에서는 변위라는 벡터를 정적분값이라는 실수로 다루기 때문에 '어떻게 벡터를 스칼라라고 하느냐'라는 의문이 들 수 있지만 실제로 실수는 스칼라뿐만 아니라 벡터로도 분류할 수 있기 때문에 문제가 없다고 말할 수 있다. 이는 [2022학년도 수능 예시 문항 14번] ㄷ 선지에서 평가원이 변위와 이동거리라는, 다시 말해 각각 벡터와 스칼라로 분류되는 물리량을 비교 가능함을 밝혔다 판단할 수 있는 부분에서 [2024학년도 6월 14번]의 변위도 하나의 스칼라값'처럼' 생각할 수 있다.
읽어봐도 수험생 신분인 저로선 실수가 왜 벡터가 될수도 있는지 등등은 이해가 잘 안되네요...
하지만 하나 확실한건 수2에서는 위치의 변화량=정적분=부호포함 이란거네요 그냥 외워야되겠네요
오히려 물리 선택해서 더 헷갈렷던듯 합니다 ㅋㅋ
그쵸, 저도 내신 때 물2 수능 때 물1 선택자였어서 그런지 처음 문제 제기 글 읽으며 '어 그러네?' 싶더라고요. 수학2에서 '위치의 변화량'과 '움직인 거리'의 차이는 속도 함수를 그냥 적분했는지 절댓값 씌워서 적분했는지의 차이 정도로만 바라보는 것이 적절해보입니다!
글 올려드렸어요 확인하세요
감사합니다, 확인했습니다! field와 vector space를 정의하면 실수가 '벡터 공간의 원소이기 때문에' 벡터로 분류될 수도 있는 것이군요