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수학 열공 [349503] · MS 2017 · 쪽지

2014-04-11 20:57:08
조회수 6,518

[열공수학] n등급 (n>2) 수학A형 독학공부법 4 (part2)

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/0004485557


앞의 내용은 여기에 있습니다.    http://orbi.kr/0004485434


앞의 내용에 이어서 칼럼을 진행하겠습니다.


 

3) 실제로 공부하는 방법 (개념을 어떻게 쌓고 연결할 것인가?)

 

예를들면, 수열과 극한 단원은 크게 다음과 같이 나누어 집니다.

 

a)수열파트 - 등차수열, 등비수열, 계차수열, 점화식, 여러 가지수열

 

공부는 이렇게 하셔야 됩니다.

 

 

등차수열은 무엇인가? 등차수열의 일반항은 무엇인가?

 

등차수열 합공식은 어떻게 나오는가?

 

등비수열은 무엇인가? 등비수열의 일반항은 무엇인가?

 

등비수열 합공식은 어떻게 나오는가?

 

이 내용들을 줄줄 설명하실수 있어야 합니다.

 

예를들면, 등차수열이라는 것은 초항이 있고,

 

거기에 일정한 숫자를 계속 더해서 나온 수열인겁니다.

 

즉, 초항이 a+0d이면 두 번째 항은 a+1d, 세 번째 항은 a+2d 이런식으로 계속가면

 

네 번째항은 a+3d, 계속하다가 지겨워서 그러면 어떻게 하면 n번째 항을 알 수 있을까

 

고민하다가 아~ a+(n-1)d 구나 하고 깨달아야 합니다.

 

그냥 등차수열 일반항 An = a+(n-1)d 라고 외우시면 안됩니다.

 

(물론, 꼭 안될 것도 없지만, 수학을 원리로 접근해야 오래기억에 남습니다.)

 

 

두 번째, 등차수열의 합이라는게 뭔지 생각해보는겁니다.

 

Sn = A1 + A2 + A3 + An 일텐데, 더해보자니 모르겠는겁니다.

 

Sn = a + a+d + a+2d + + a+(n-1)d 라고 나타낼 수 는 있는데,

 

합은 모르겠지요...이 때 떠올리셔야 할 것은 1부터 10까지의 합을 구하는 원리를

 

이용해 보시는 겁니다. 대부분 55라는 것을 알테고, 가우스님께서 떠올리신 방법입니다.

 

이것은 결국 (1+10) * (10/2)인 것이겠지요...

 

말로 설명하면 처음항이랑 마지막 항을 더하고 전체항의 절반으로 곱하는 방식인 것입니다.

 

즉, Sn = n/2 * (a+l) 인 것입니다. (n은 항의 숫자, a는 초항, l은 마지막항)

 

등차수열의 합은 가우스의 방법에서 생각해내시구요

 

여기서 l 대신에 일반항을 대입하면 우리가 아는 등차수열 합공식이 도출되는 겁니다.

 

즉, Sn = n/2 * ( a + a + (n-1)d ) = n/2 * ( 2a + (n-1)d ) 입니다.

 

같은 방식으로 등비수열을 생각해보겠습니다.

 

등비수열은 초항에다가 어떤수를 계속 곱하는 수열입니다.

 

(모르겠으면 숫자를 가지고 해보세요. 2, 4, 8, 16 ..... 초항이2, 공비가 2인 등비수열입니다)

 

즉, 초항을 a 라고 하면, 두 번째항은 a*r이고 세 번째항은 a*r2, 네 번째항은 a*r3

 

계속가다가 지겨워서, n번째항을 생각해보면 a*rn-1 이 나올겁니다.

 

같은 방식으로 등비수열 합공식을 구해보면 다음과 같습니다.

 

(등비수열 합공식은 등차수열 방법과는 조금 다르게 구합니다.)

 
     

 

오래 기억하시기 위한 방법은 예를들면,

 

Sn을 쓰세요. Sn 이라는 놈이 위의 식처럼 쓰여질 겁니다.

심심하니까 r을 양변에 곱해보세요.

그러면 좌변은 r*Sn이 될꺼고, 우변은 각항에 r이 곱해질텐데

곱해서 한칸씩 옆으로 이동시키는겁니다.

 

그리고 역시 심힘하니까 아래식에서 윗식을 빼주면

좌변은 (r-1)Sn이 남을꺼고 우변은 arn-a가 남을겁니다.

r=1이 아니라고 가정하고, 양변을 r-1로 나누면

위의 등비수열 합공식이 나옵니다.

 

중요한 것 중 한가지는 위의 등비수열 합공식은 r이 1이 아닐 때 쓰는

 

공식이라는 겁니다. (지금은 중요하지 않지만, 극한에서 의미가 있습니다.)

그렇다면 r=1일 때 등비수열 합공식은 어떻게 될까요?

쉬우니까 각자 생각해보시구요...ㅎㅎ

 

원리가 왜 중요하냐면, 등비수열 합공식을 원리로 이끌어내면

 

멱급수 (등차수열과 등비수열이 곱해져있는 형태의 문제 An = n * 3n-1)

 

같은 문제를 풀 때에 등비수열 합공식의 원리로 풀면 되니까

 

멱급수는 등비급수라고 생각해버리면 쉽게 정리될 것입니다.

 

 

이외에 계차수열의 정의는 뭐고, 합공식은 어떻게 되고,

왜 계차수열의 Bn항은 n-1까지 더하는지 이런걸 생각하다보면

계차수열도 금방 끝납니다.

 

그 다음에 점화식을 통해 등차, 등비, 계차, PAn+q 꼴 구하기등을 공부하고,

 

(점화식의 의미와 이게 수열과 무슨 관계가 있는지 알아야 합니다.)

 

시그마 K, 시그마 K 제곱, 그리고 부분분수 분해의 꼴로 풀리는 것

 

f(n)이 곱해져 있는 점화식등을 공부하면 수열이 끝납니다.

 

(물론 하려면 무궁무진하지만, 일단락 시키고 보자면 그렇습니다)

 

그리고 극한이랑 연결시켜서 생각한다면,

 

극한 파트에서 가장 중요한 것은 “분모의 최고차항으로 나눈다”입니다

 

이 원리를 적용하면서 모든 문제를 풀 수 있고,

 

이 원리를 고민하다 보면 (왜 분모의 최고차항으로 나누는 것일까?

결국, n이 무한대로 갔을 때 식을 “0”으로 만들어야 문제가 풀린다는

원리를 깨닫게 되면, 무한등비급수에서 r의 구간을 나누는 것을

깨닫게 될 것이고, 그게 되면 극한 문제는 거의 다 풀립니다.)

 

따라서, 상황에 따라 n이 무한대로 갔을 때 자동으로 “0”이 되면

그 식은 그대로 둬도 풀릴 것입니다.

 

 

또한, 극한이라는 개념을 수열과 연결시킨 것이 무한급수, 무한등비수열이라는 것을

 

이해해야 합니다. (즉, 수열부터 극한까지 한방에 이해해야 수학이 쉬워집니다)

 

“급수”라는 말이 물을 주는게 아니라 “합”을 의미하며

 

일반적으로 무한급수는 무한등차수열의 합 (물론, 여러 가지 수열이 있지만 논외로 하고)

인데 실제로 무한등차수열의 합은 발산하기 때문에 출제되지 않고,

따라서, 무한급수 문제는 대부분 부분 분수 분해의 꼴이나 무리식의 차꼴로 나타납니다.

4월 모평에서 수학 A형 4점짜리 16번 문제의 경우도 결국은 부분 분수 분해 문제입니다 

 

무한등비급수는 (이 말은 무한급수들이 여러 가지 있지만, 무한등비급수는 특별하다는 

것으로 이해하시면 됩니다) 무한등비수열의 합이구나 라는 원리를 이해하셔야 합니다.

 

 

따라서, 등비수열의 합을 구하고 n을 무한대로 보내는 것이구나 라는 것을 깨닫고

 

그렇다면 등비수열 합 공식에서 n이 무한대로 가기 때문에 a/1-r이 나온다는 것을

 

이해해야 합니다.

 

 

   

 

무한등비급수 합공식이 나오는 겁니다.

 

극한에서 기억해야할 것 들 중에 하나는

 

왜 등비수열의 수렴조건은 -1 < r ≤ 1 이고,

 

무한등비급수의 수렴조건은 -1 < r < 1 인가 하는 부분입니다.

 

또한, 무한급수가 수렴하면, 그 수열의 극한값 (n->무한대)은 “0”이다의 의미

 

등을 이해하면 수열의 극한은 끝납니다.

    

 

각설하고, 이런게 단원의 개념을 연결지어가며 공부하는 수학 공부법입니다.

 

이 정도의 개념을 한꺼번에 정리하고, 관련 문제들을 푸시는게

 

등차 수열하고 문제풀고, 등비수열하고 문제풀고, 계차수열하고 문제풀고,

 

점화식쯤 왔을 때 앞에꺼 까먹고, 극한에 가면 수열이 생각 안나는

 

악순환을 피할 수 있는 방법입니다.

 

4)번을 쓰려고 했는데, 너무 양이 많아서

 

그 내용은 따로 편을 만들어서 내일쯤 올리도록 하겠습니다.

 

 

마지막으로

 

5) 수학 오프라인 무료특강을 해보려고 합니다.

 

제가 칼럼으로 쓴 내용을 직접 설명해 드리고,

 

독학으로 공부해야 하는 방법들도 알려드리려고 합니다.

 

 

대략 2주에 1번 정도 하려고 생각하고 있고,

 

첫 무료수업은 4/27(일) 저녁 7시에 예정입니다.

 

장소는 미정인데, 서울지역 (아마도 목동쪽)에서 할 것 같습니다.

 

 

참여하실 분은 쪽지로 이름, 연락처, 수능등급이나 모의고사 등급 정도를

 

저에게 알려주시면 장소 정해지는데로 쪽지로 회신해드리고,

 

4/20일쯤에 문자 및 쪽지로 연락 드리겠습니다.

 

학생이 많으면 수업하기 힘들어서 10명 정도로 제한할 생각이며,

 

 

상업성을 목적으로 하는 강의가 아니므로

 

기타 여러 가지 질문들은 받지 않겠습니다.

 

(그날은 시간이 안되는데 수업 다른 요일에 하면 안되나요?

인강으로 찍어올려주시면 안되요? 등등)

 

P.S : 혹시 예약했다가 못오시게 되면, 못 온다는 문자 정도는 보내주시는

예의있는 학생들이라면, 수학 무료강의를 하는 보람이 있을거라 생각합니다.

 

대략 수업 계획은 다음과 같습니다. (시간은 저녁 7시 ~ 저녁 9시)

 

1회 : 4/27(일) - 행렬, 수열, 무한등비급수까지 개념정리

 

2회 : 미정 - 수능에 나오는 수업정리 고1과정 수학정리 - 도형의 방정식을 위주로

 

3회 : 미정 - 확률, 통계 특강

 

4회 : 미정 - 6월 모평 대비 특강 - 수능 빈출 주제 교과서 정리특강

(지수/로그,행렬,수열,극한,미분)

 

 

위의 특강은 수능 수학의 전범위를 다루는 것도 아니기 때문에,

 

그냥 관련단원이 약하다면 들어보시면 도움이 되실 것이고,

 

 

전부 무료 특강인 관계로 (아마 2주에 1번 정도 진행될 것입니다)

 

쪽지로 요청하신 분들에게만 개별 연락이 갈 것입니다.

 

(댓글로 신청하셔도 의미없습니다.)

 

 

사실 좋은 일하고도 욕먹을까봐 좀 두렵기는 하지만,

 

기본적인 상식 수준에서

 

서로 지켜야 할 것을 지킨다면

 

도움이 될 것이라 생각합니다.

 

 

이후 무료특강 진행되게 되면 공지토록 하겠습니다.

 

일단은 4/27(일) 저녁 7시에는 진행할겁니다.

 

 

수학과 함께하는 즐거운 주말을 기원합니다....ㅎㅎㅎ

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