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인생패배자 [298233] · MS 2009 · 쪽지

2013-07-18 11:08:10
조회수 1,060

익힘책 함극문제 풀다 궁금한게 생겼어요

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/0003746735

다음 두 조건을 만족하는 다항함수 중 차수가 가장 낮은 다항함수 f(x)를 구하여라.

1. lim{f(x)/(x-1)}=8 2. lim{f(x)/(x+1)}=-8
   x→1   x→-1
이 문제인데
분모→0 → 분자→0으로 f(1)=0, f(-1)=0은 알겠는데
f(x)=(x+1)(x-1)g(x)를 왜 (x+1)(x-1)(ax+b) 이렇게 써야하는지 모르겠어요. f(x)의 차수를 아직 모르잖아요..
위의 식처럼 쓰면 차수를 알려주지도 않은 f(x)가 3차 or 2차로 단정해버리는건데 g(x)가 꼭 ax+b가 되는 이유가 뭔가요?
식이 두개니까 미지수도 두개로 맞추려고 ax+b를 쓴건가요??

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인생패배자 [298233]

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  • _Amnesia · 410130 · 13/07/18 13:35 · MS 2012
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
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  • 독학생 · 410159 · 13/07/18 20:22 · MS 2012

    발문에서 두조건을 만족하는 다항함수중 차수가 가장낮은 다항함수f(x)를 구하라고 했으니,

    f(1)=0 f(-1)=0 f'(1)=8 f'(-1)=-8을 이용하여

    구하려고 해보면 g(x)를 2차,3차로 할시에는
    미지수를 더추가하게하므로

    f(x)를 구할수가없다는걸 알수있습니다.

    그러니 f(x)를 구하기 위해서는
    자명히 g(x)는 1차가 될수밖에없습니다.

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  • 일타삼피 · 424982 · 13/07/19 01:07

    f(x)=(x＋1)(x－1)g(x) 라고 놓으면,
    첫번째 식으로부터 g(1)=4
    두번째 식으로부터 g(-1)=4
    의 결과를 얻을 수 있습니다.
    결국 g(x)는 n차 다항식이고(n은 음이아닌 정수. 0차는 상수함수), y=g(x)는 두 점 (1,4)와 (-1,4)를 지납니다.
    최소의 n을 찾는게 목적이므로 n이 상수함수일때부터 시작해서 조건에 맞는 g(x)를 찾으면 됩니다.


    g(x)의 조건을 구한 뒤 그 조건에 맞는 g(x)들 중 차수가 가장 낮은 걸 고르는 과정으로 문제풀이를 해야할 것 같은데, 위에처럼 ax+b로 바로 놓고 푸는 건 결과만 맞는 풀이 아닌가요...?
    엄밀한 풀이는 아닌 것 같은데..;

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  • 인생패배자 · 298233 · 13/07/23 18:28 · MS 2009

    해설지 풀이는 그렇게 나와 있어서요.. 님 풀이가 맞는거 같아요. 감사합니다

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  • 인증주스 · 417627 · 13/07/19 13:11 · MS 2012

    저런 극한값이 두개가 주어지면 반드시 g(x)는 일차이하의 식으로표현될수 있습니다.

    차수가 최소인것을 구하라고 했으니g(x)는 일차식또는 상수일 것이고, 일차이하의 식을 일반적으로 나타낼수있는 (ax+b)형태를 사용한것으로 보입니다.

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  • 인생패배자 · 298233 · 13/07/23 18:33 · MS 2009

    극한값 두개가 주어지면 g(x)가 반드시 일차 이하의 식으로 표현될 수 있는 이유는 무엇인가요??
    위에 댓글다신 분이 말하신것처럼 두 점 (1,4),( -1,4)을 지난다는 조건만 주어졌는데 차수를 알 수 있는건가요?

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  • 인증주스 · 417627 · 13/07/29 18:21 · MS 2012

    시간이 좀 지났는데요....

    저런 극한값이 두개가 주어지면 반드시 g(x)는 일차이하의 식으로표현될수 있습니다. ----이말은

    (a,b), (c,d) 를 지나는 일차함수 또는 상수함수는 반드시 존재한다.라는 의도였습니다.

    (a,b), (c,d)를 지나는 함수중 가장 차수가 작은 함수를 구해야 하므로

    g(x)의 차수를 2차, 3차, 4차, 5차.....n차 로 잡지않고 1차함수로 놓은 것입니다. (1차항의 계수를 미정계수로 설정하면 상수함수도 포함되므로)

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