9평92점.......
가형 9평92점을 받은재수생인데요.
10월교육청 모의고사 1시간남기고1문제 남았는데 그걸 못풀어서 질문드립니다
제가 수리의비밀 애용자인데요 수리의비밀을 4회독하면서느꼈던게
좌표가주어지지않는한 좌표를이용해풀지않는다.. 였는데요
27번문제를 30분가량 고민했는데 못풀었습니다
근데 곱하기 마이너스일을 이용해서 많이들푸셨더라고요.
구평때는 삼각함수극한틀렸었는데 또 도형틀리니까 불안하기도하구요.
하고싶은질문은 좌표를 안줘도 잘안풀리면 이용하는건가요? 그리고 평면도형 문제들
잘풀기위한팁같은거없나요?
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좌표가 주어지지 않은 도형문제를
좌표도입없이 풀수있는 아이디어가 떠오르면 그게 가장 좋은 방법이라 생각하구요.
그게 정~~ 안되면 어쩔수 없이 좌표를 도입해서 푸는데
여기서 몇가지 정리를 해볼께요.
1.좌표없이 기하 문제를 풀때
장점: 수식이 아주 깔끔하고 간단한 경우가 많다. (때로는 암산 만으로도...)
단점: 문제를 풀기위한 신의한수(핵심아이디어. 예를 들어 보조선긋기나 닮은도형을인지하기 등등..)
가 필요한데 그것을 찾는것이 쉽지않다(난이도가 올라갈수록)
2. 좌표를 도입해서 풀때
장점 : 신의한수 아이디어가 거의 필요없다.즉, 연습만 충분히 되어있다면
100% 풀린다. (대신 고등수학 상,하 +기하와벡터의 기본 공식, 내용 등은 필수 이해+암기)
단점 : 계산이 더~럽게 복잡해질 가능성이 생긴다.
3. 순수기하와 좌표를 적절히 잘 섞어서 풀때
이건 단점 장점이 있는게 아니라, 문제의 조건중
기하로 접근하는게 편한 부분은 기하로만 해석하고
좌표로 계산하는게 편리한 부분은 대수방정식을 섞어주고
잘 융합해서 푸는 방식인데 위의 두가지 방법에 둘다 익숙해지면 자연스레 이런 풀이로 오게되죠.
님의 질문에 답변을 드리면
좌표없이 푸는연습과 좌표로 푸는 연습을 두가지를 다 해야 하는것이 맞는데
가급적이면 원래 문제의 의도를 따라가는것이 안전 하겠죠
팁을 드리고 싶어도 너무 광범위한 질문이라 세세히 설명 드리긴 힘들구요.
님이 9평과 10월 에서트리신 문제의 공통점인 '원'이 들어가는 기하문제에
대한 팁만 간단히 알려 드릴께요.
일단 원에 서 가장 중요한것은 "원의 중심" 입니다.
그리고 그원이 다른 도형과 만나는 교점 이구요
중심과 교점들을 연결하면 다 반지름이 되고 여기서 방정식을 세우는것이 가능해집니다.
또 이등변삼각형도 등장하기 때문에 등변들의 대각이 같다를 이용해도 방정식이나오고
또 이등변삼각형은 등변을 낀 각에서 대변에 수선을 그으면 수직 이등분이되기때문에 상당히 유용한 자료가
됩니다.
그다음 또 중요한 것은 "90도" 입니다. 이것은 원뿐아니라 다른 도형에서도 마찬가지로 중요하죠.
문과
같은경우면 90도 를 사용해서 기울기곱 = -1 사용
피타고라스 정리
이과 같은경우면
직각삼각형을 이용하여 파타고라스보다는
각을 이용하여 삼각비를 사용하죠.(삼각함수, 삼각함수의 극한)
또 직각삼각형은 닮은 직각삼각형을 대량생산해내는 고마운 존재 이기도 합니다.
그러면 닮음비로 접근하기도 수월해지지요.
그러면 원관련 90도 는 어디서 나오느냐 자주 출몰하는 것 몇개 적어보면
첫째 접선이 존재할때 접점에서 접선관 반지름과의각
둘째 할선(현)이 존재할때 할선(현)의 중점과 반지름이 이루는각
셋째 지름이 언급되어 있을때 지름의 양끝과 또다른 원위의 임의의 점을 연결하여 이루는각(지름을빗변으로하는 직각삼각형)
정도있겠네요.
90도 를 구해야 직각 삼각형을 이용하여 피타고라스를 쓰던 삼각비를 쓰던 닮음비를 쓰던 할것 아닙니까.
또 중요한것은 고등수학 하 의 삼각함수 파트부분의 사인 , 코사인 법칙 입니다.
굳이 90도 가 등장해 주지 않으셔도(직각 삼가\각형이 없어도) 각에관한 방정식을 세울수있게 해주는 고마운 놈이죠.
하나만 더 말하면 (줄인다고 줄였는데......)
중학수학에서 엇각 ,맞꼭지각 삼각형 내각의 합은 180도 등이 있겠습니다.
특히나 서로 평행인 두직선에서 엇각의 위력은 타의 추종을 불허하죠.
주저리 말이 많았는데
요약하면 원이 관련된 문제일때 이과생이라면
1. 원의중심 , 원위의점들중 다른도형들과의 교점 연결!
2. 90도 어디 없나 ?? 두리번 두리번 (90도 정말 중요합니다!)
3. 사인 코싸인 법칙 적용 가능한지
4. 엇각 맞꼭지각 써 먹을꺼 없나 ???
를 확인하시고
위의 사항으로 확인한 내용으로
1. 등변 이나 등각 또는 내각의 합 180도 , 각의합이 180도나 90도 보각 관계 이용 방정식 ,
2. 직각 삼각형으로 피타고라스정리사용 삼각비사용 닮음비 사용
3. 사인 코사인 법칙사용
하면 어지간한 문제는 다 풀릴겁니다.
아! 그리고 위의 사항을 반드시 다 써야지만 문제가 풀리는건 아닙니다.
문제에 따라 저중의 일부만 사용하면 되죠 그때그때 문제상황따라
사실저는 10월 문제 27번 봤을때 벡터로 풀었는데요.
벡터도 각이 나오는 도형문제에서 상당히 좋은 도구입니다.
이말까지 하면 더 복잡해지니 패스
10월문제는 그냥 기하건 좌표도입이건 벡터로 풀건 계산이 복잡하지
않더군요.
기하로 풀어보실꺼면 제가 말씀드린 위의 내용 사용해 보세요 풀이방법이 아마 2~3가지는 보이게 될것입니다.
또 9월 삼각함수 극한도 살짝 말씀드리면 원이 두개있죠?
두개 원중 작은원에서 선분 ap 위에 수선 그었을때 h라고 하면
ah + hp = ap 로 하고 ah 는 삼각비로 hp는 피타고라스로 하면 답나오잖아요
이미 해설이나 여러 풀이들을 보셨을것 같은데
그런 풀이 백번 봐야 필요없고
저런 생각을 어디서 아이디어를 낸거지? 어떤것을
근거로 저런발상을 한거지? 라는 고민을 해보셨을 겁니다.
그래서 그 근거와 이유들을 어디서 어떤식으로 찾을건지에 대해서 몇가지 얘기를 해봤습니다.
그런데 말씀드렸다시피 너무 방대해서 자세히 말씀드리긴 힘드네요.
아 근데 한가지만 더질문할게요.
방금 질문드린 시월문제 벡터로푸니 잘풀리네요.
근데 저는 저문제를 보자마자 삼각함수문제라고생각하고 냅다 삼십분동안 삼각함수로풀려고했는데요 처음에 생각한 출제의도로 풀다가 안풀릴때 몇분정도풀다가 다른 방향으로 생각하는게 좋을까요? 다시한번말씀드리지만 정말감사합니다
일단 첫번째 문제를 봤을때 안풀리면 바로 다음 문제로 넘어가시고
(근데 본문을 보니 그렇게 하신것 같네요)
30번 까지 쭉 도시고 다시 안풀리는 문제로 돌아왔다고 해봅시다.
여기서 저의 경험을 말씀드리면 발상이나 식이 잘못된것만 아니라면
풀이과정이 길고 복잡하던 짧고 간단하던간에 답은 나오게 되어 있습니다.
풀이과정이 복잡하다고 나쁜풀이라고 할순없어요.
풀이과정이 깔끔해도 좋은풀이라고 할수도 없습니다.
가장 좋은 풀이는" 님의 현재 실력과 선호하는 사고과정과 관련해서
가장 빨리 떠오르는 풀이방법" 입니다.
어떻게든 답은 맞춰야 하잖아요.
아무리 한석원 선생님이 한줄풀이를 해줘도 내가 그생각이 쉽게 안든다면
좋은풀이가 아닌거죠 적어도 본인 에게는...
아무리 풀이가 길고 복잡해도, 다른 문제빨리 풀고 30~40분 남기고
한문제를 30분동안 풀었다고 해도 그렇게 해서 수리가형 100점 받으면
그게 님한텐 최고의 풀이인거죠.
물론 연습을 할때는 가장 짧고 간단한풀이를 보는 훈련을
다각도로 해야합니다.
하지만 시험장에서는 그게 쉽지가 않잖아요.
잡설이 길었는데 여튼 시험장에서는
처음 풀이로 잘 안 풀린다면 이풀이를 유지할까 말까를 고민하는것보다
일단 ..... """" 심호흡 한번 하세요 """""
제생각에 님은 머리가 상당히 좋으신분 같아요.
그렇기에 본인이 막히는 문제가 나오면 당황도 많이 하시는분 같구요.
문제가 막히면 그 이후에 잘안풀리는 이유가 어쩌면 본인의 마음가짐 자체에
있지는 않은가 하는 생각이 듭니다.
문제를 어떻게 풀것인가에 대한 고민을 해야하는데 어쩌면 마음 한구석에
'못풀면 어쩌지' 라는 근심과 불안한 마음들로 가득차 문제를 풀기위한 발상에
지대한 방해를 주지는 않았나요? 혹시 시험이 끝나고 나서 다시 보니까
쉽게 풀리지는 않았습니까?
만약 그렇다면 호흡을 가다듬고, 잡생각 지워버리고
평소 공부할때의 자신의 뛰어난 실력으로 돌아갈 필요가 있다고 생각해요.
거기다가 재수를 하신다면 오히려 현역보다 멘탈붕괴가 더 쉽게 진행될수도 있습니다.
왜냐면 마음의 짐이 재수라는 죄책감때문에 한층더 무거울 것이니까요.
본인을 믿으시고 마음을 다시 가다 듬으시고 일단 먼저 집중할수있는 마음의 평정상태 부터
확보하시구요.
이제 다시 문제를 봅시다.
문제를 정독하시고 내가 사용할수있는 여러가지 기술중 무엇을 쓸것인가를
다시 한번 차근차근히 생각해보세요.
그러면 분명히 떠오르는 무언가가 있을 겁니다. 제가 장담 합니다.
이런 위의 심호흡 과정없이 계속 문제만 쳐다보다간 마음속의 불만만 쌓이고
머리고 빠가 상태가 지속이 되서 처음에 문제를 쳐다보던
좁은시야 에서 탈출할수 없는 상태가 됩니다. 그래서 이것을 거듭 강조 합니다.
이것을 탈피하면 이제 방법이 보이실테니 뭔가를 할수있겠죠?
그러면 그 방법은 님이 처음에 생각한 의도그대로 밀고 ㅏ가는 것일수도있고
(처음 의도가 맞았는데 거기에 뭔가 살을 더 추가할수도 있는것이고)
새로운 방법일수도 있습니다.(아예 다른 관점에서의 접근 일수도)
중요한건 전자건 후자건간에 평소 자신의 실력대로 돌아와야 가능하다는것이죠.
님이 다신 답변에 님도 그문제를 벡터로 푸니깐 잘 풀린다면서요.
근데 왜 시험장에선 그 생각을 못하신 걸까요. 정신적 혼란으로 그런 생각할 마음의
여유가 없었기 때문일꺼예요.
그리고 얼마든지 순수 삼각함수로도 풀수도 있구요.
답변이 되었는지 모르겠습니다.
아! 그리고 물론 이런것들은 기본적으로 여러가지 수학의 도구들을
사용할수있는 실력이 있어야 하는건 대전제이구요.
님은 그정도는 충분히 갖추신 실력있는분 같아 답변 드렸습니다.
그리고 잊지 마세요.
"어떤 발상엔 반드시 그 근거가 있고 그 근거를 발상과
인과관계를 통해 연결 (인(근거) ->과(발상))시켜야 한다" 는 것을.
저도 좌표냐 기하냐 항상 고민하고 있엇는데ㅋㅋ