해원(난만한) [347173] · MS 2010 · 쪽지

2012-08-24 11:07:02
조회수 6,517

[미적분] 자작 문제 투척

게시글 주소: https://cuttingedge.orbi.kr/0003020109


오랜만에 한문제만 올려봅니다 ~

요즘 무료 공개 모의고사를 한회분 제작중인데

모의고사에 들어가지 않을 문항입니다.

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  • 포스트잇 · 376100 · 12/08/24 11:17 · MS 2011

    2? 이젠 머리가 돌이되서 증명도못하겟다..


    아 4번이구나 ㅋㅋㅋㅋ f'(0)이 f (0)으로 보이다니 눈이 삔듯..ㅠㅠㅠ

  • 올리브앤레몬 · 289938 · 12/08/24 11:17 · MS 2019

    2??

  • 올리브앤레몬 · 289938 · 12/08/24 11:17 · MS 2019

    근데 오르비 언제부터 비밀글없어졋나요..

  • 더스페셜원 · 381381 · 12/08/24 11:20 · MS 2017

    나형 모의고사도 나오나여

  • 해원(난만한) · 347173 · 12/08/24 11:35 · MS 2010

    가형만 만들어요 저는.. ㅋㅋ 나중에 나형도 만들수도 ㅠ

  • 공간과공간 · 398676 · 12/08/24 11:20 · MS 2011

    2 또는 4인 것 같은데 ㄷ을 지금 못풀겠네요..

  • 해원(난만한) · 347173 · 12/08/24 12:04 · MS 2010

    정답은 밤에 공개할께요 ^^

  • 마지막세대 · 350130 · 12/08/24 12:18 · MS 2010

    4번?
    한완수에서 본듯하네요ㅋㅋㅋ

  • 해원(난만한) · 347173 · 12/08/24 12:20 · MS 2010

    흠 예전 모의고사에 만들어 넣었던건데 한완수 집필하면서

    넣었을수도있겠네요 ㅋㅋ

  • 마지막세대 · 350130 · 12/08/24 14:53 · MS 2010

    다들 어느새 고치셧네요 ㅋㅋ ㅠㅠ
    덕분에 혼란스러웠어요 ㅠㅠ

  • GeonuPark · 367317 · 12/08/24 12:32 · MS 2011

    4

    밑변의 길이가 1인 문제 변형이군요.

    ㄴ에서 [0,1]을 (0,1)로 바꿔도 성립하나요?

  • 해팔 · 345219 · 12/08/24 13:35 · MS 2010

    위로 볼록이라 4번이 맞는 듯 한데

  • GeonuPark · 367317 · 12/08/24 14:08 · MS 2011

    아래로 볼록 아닌가요?

    ㄷ이 평균값이 함수값 보다 위에 있다는 말 아닌가요?

  • 전대의예 · 405818 · 12/08/24 14:23 · MS 2012

    b-a때문에 넓이 비교인것 같아요~~ㅎ

  • GeonuPark · 367317 · 12/08/24 14:25 · MS 2011

    아 평균값이 아니었군요;

    f(a)+f(b) / 2 로 봐버리다니

  • 그린디에타 · 112585 · 12/08/24 13:53 · MS 2005

    4?

  • GeonuPark · 367317 · 12/08/24 14:09 · MS 2011
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
  • 연대한양대 · 403599 · 12/08/24 14:11 · MS 2012

    4번 같은데요

  • 빵꾸똥꾸 · 256289 · 12/08/24 14:15 · MS 2008

    2번...
    ㄷ의 왼쪽 조건은 아래로볼록이라는 뜻이고 오른쪽 식은 2를 양변에 나눠서 우변을 1/2f'(0)으로 표현하면 삼각형의 넓이가 되니까...
    아래로볼록 함수는 x값이 증가할 수록 f'(x)도 증가하고 결국 거짓이 되는것 아닌가요;;

  • GeonuPark · 367317 · 12/08/24 14:31 · MS 2011

    ㄷ 왼쪽 조건이 평균값이 아니라 x값의 평균의 함수값이예요.

  • 빵꾸똥꾸 · 256289 · 12/08/24 14:34 · MS 2008

    ;;네 ㅋㅋ 수정하고 확인눌렀더니 님 답글때문에 안고쳐졌어요 흑흑 너무함

    1/2{f(a)+f(b)} 로 계산했다고 썼는데...
    f((a+b)/2)였음 ㅠㅠ

  • GeonuPark · 367317 · 12/08/24 14:34 · MS 2011

    ㅋㅋ 저만 틀릴 순 없지요

    전 수정 성공 아싸

  • 빵꾸똥꾸 · 256289 · 12/08/24 14:38 · MS 2008

    어차피 저는 수험생이 아니니 아싸 ㅋㅋㅋ

  • 전대의예 · 405818 · 12/08/24 14:22 · MS 2012

    위로볼록인듯. 이거 햇갈리신분들 은근히 많나보네요

  • 네온사in · 371472 · 12/08/24 14:23

    4번아닌가여? 삼각형넓이랑 위로볼록함수같은데

  • BAL.Inc · 378865 · 12/08/24 22:56

    삼각형이 아니라 사각형넓이

  • Meredith♥ · 283561 · 12/08/24 14:45 · MS 2009

    위로볼록같은데 ..

  • 도와주세요~ · 385096 · 12/08/24 16:27 · MS 2011

    444

  • sos440 · 104180 · 12/08/24 16:38 · MS 2005

    답은 4번입니다. 그런데 ㄷ에서 주어진 조건이 함수가 위로 볼록이라는 사실을 의미한다는 것이, 비록 그림으로는 그럴듯해보이지만 실제로 증명하는 문제는 또 따로 생각해 볼만한 문제인 것 같습니다. 이제,

    [문제 조건] : 임의의 a < b 에 대하여, f((a+b)/2)(b-a) > ∫_a^b f(x) dx
    ⇒ [위로 볼록의 정의] : 임의의 a < b 에 대하여, (a, f(a)) 와 (b, f(b)) 를 잇는 선분은 항상 y = f(x) 의 그래프 아래에 놓인다.

    임을 실제로 증명해봅시다.



    >> 증명. 귀류법을 이용하기 위하여, 주어진 조건을 만족하면서 위로 볼록이 아닌 함수 함수 f가 존재한다고 가정합시다.

    그러면 어떤 a < b 가 존재하여, (a, f(a)) 와 (b, f(b)) 를 잇는 선분의 일부가 y = f(x) 의 그래프의 위에 놓입니다.

    이제 그 위에 놓이는 선분의 일부분을 최대한 연장하여 y = f(x)의 그래프와 맞닿게 함으로써, y = f(x) 위의 어떤 두 점 P(p, f(p)), Q = (q, f(q))이 존재하여, 선분 PQ는 y = f(x) 의 그래프보다 위에 놓이게 된다는 사실을 알 수 있습니다.

    따라서 이 선분의 기울기 m = (f(q) - f(p))/(q - p) 에 대하여, 함수 g(x) = f(p) + m(x - p) 는 이 선분을 나타내는 함수가 되며, 함수 h(x) = f(x) - g(x) 는 h(p) = h(q) = 0 이고 p < x < q 일때 h(x) < 0 을 만족시키는 미분가능한 함수가 됩니다.

    그러므로 최대최소 정리로부터 폐구간 [p, q]에서 h(x)의 최소값을 갖는 지점 p < c < q 를 하나 찾을 수 있습니다. 그러면 0 = h'(c) = f'(c) - m 이므로 m = f'(c) 이고, 이로부터

    h(x) - h(c)
    = f(x) - f(c) - m(x - c)
    = f(x) - f(c) - f'(c)(x - c)

    임을 얻습니다. 그런데 h(c)는 구간 [p, q]에서 h(x)의 최소값이므로, 위 값은 [p, q] 위에서 항상 0 이상이 됩니다. 그러므로 [p, q] 위에서 항상

    f(x) ≥ f(c) + f'(c)(x - c)

    이 성립합니다. 따라서 p ≤ c-k < c < c+k ≤ q 를 만족시키는 임의의 양수 k에 대하여

    ∫_{c-k}^{c+k} f(x) dx
    ≥ ∫_{c-k}^{c+k} (f(c) + f'(c)(x - c)) dx
    ≥ 2kf(c)

    이고, a' = c-k, b' = c+k 에 대하여 위 식은

    ∫_a'^b' f(x) dx ≥ f((a'+b')/2)(b' - a')

    와 같아집니다. 그런데 이는 ㄷ의 가정에 모순입니다! 따라서 주어진 함수 f(x)는 위로 볼록이어야 합니다. ////



    증명의 아이디어가 잘 안 잡히신다면, 다음의 직관적으로 번역된 버전으로 읽어보시면 더 좋을 듯합니다:



    >> 증명, 직관적 버전. 함수가 직선이 아니고 위로 볼록이라면, 주어진 부등식이 성립함은 넓이를 비교해보면 쉽게 알 수 있습니다. 또한, 마찬가지로 함수가 직선이 아니고 아래로 볼록이라면, 주어진 부등식의 반대방향 버전이 성립함도 당연합니다.

    그런데 주어진 미분가능한 함수가 위로 볼록이 아니라면, 적어도 어떤 지점에서는 아래로 볼록이 됩니다. 그리고 그 지점 근처에서 주어진 부등식을 살펴보면, 부등호 방향이 반대가 됩니다.

    따라서 우리는 모순을 얻고, 주어진 함수는 위로 볼록이어야 합니다. ////

  • 열등한 이과종자 · 408861 · 12/08/24 18:41 · MS 2012

    4번인거 같다

  • aiming · 293922 · 12/08/24 19:36 · MS 2009

    444

  • 서울대조인성 · 380008 · 12/08/25 01:27 · MS 2011

    4번. ㄷ은 기출문제 응용이라 넓이로 바로 풀었는데,

    ㄴ은 [0.1]에서 y=2x 그래프와 f(x)가 한점에서 만나면, 그 만나는 점과 원점 사이의 평균값 정리로 인해 적어도 기울기가 2인 접선이 존재하므로 참이라고 했는데 혹시 다르게 푸신분 있으신가요?

  • 안물 · 407383 · 12/08/25 23:32 · MS 2012

    수학굇수들이 4번이라할때 수학볍신인나는 소신껏 2번...

  • 공간과공간 · 398676 · 12/08/26 10:37 · MS 2011

    서울대조인성//저는 귀류법으로 풀었습니다.
    구간 [0,1]에서 f'(x)<2라 가정해봅시다. 그러면 양변을 적분해서 f(x)<2x가 될 겁니다. 그런데 2x를 구간 [0,1]에서 적분한 값은 1이기 때문에 f(x)를 적분한 값이 1이 될 수 없어서 모순이 됩니다.

  • 서울대조인성 · 380008 · 12/08/27 02:17 · MS 2011

    적분과 미분의 부등호 크기는 그대로 적용될 수 업는 걸로 알고 잇는데요. f'(x)<2 라고 해서 적분값 f(x)<2x 라는 말은 성립하지 않는 거같네요. 그리고 적분하면 적분상수가 나오는데 기울기 상으로 봤을 때 f'(x)가 2보다 작더라도 상수값에 의해 2x보다 더 위쪽에 있을 수 있습니다.

  • 공간과공간 · 398676 · 12/08/27 22:40 · MS 2011

    저는 부정적분을 한 것이 아니라 정적분을 했습니다. 두 연속함수 f(x), g(x)에 대해 구간 [a,b]에서 f(x)<=g(x)이면 int_a^bf(x)dx<=int_a^bg(x)dx임이 알려져 있습니다. 이때, 보기 ㄴ에서 f'(x)<2라고 가정하면 위 정리에 의해 int_0^1f'(x)dx

  • 공간과공간 · 398676 · 12/08/27 22:41 · MS 2011
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
  • 공간과공간 · 398676 · 12/08/27 22:43 · MS 2011

    아 잘못 적었다..; 다시 설명할게요

  • 공간과공간 · 398676 · 12/08/27 22:49 · MS 2011

    다시 처음부터-위의 답변은 무시해주세요 ㅠㅠ
    정적분을 하는데, 이때 f'(x)<2라 가정했을 때, 0보다 큰 실수 x에 대해, 구간 [0,x]에서 int_0^x f'(t)dt

  • 공간과공간 · 398676 · 12/08/27 23:02 · MS 2011

    맨 처음 답변에서 a<=b라 두면 이상 없을 것 같습니다.

  • 뭐하냐.. · 411414 · 12/08/26 14:40 · MS 2012

    ㄷㄷ 2번이에요

  • 도깨비안경 · 404577 · 12/09/01 00:17 · MS 2012

    근데 sos440님이 써놓으신 증명에서
    ∫_{c-k}^{c+k} f(x) dx
    ≥ ∫_{c-k}^{c+k} (f(c) + f'(c)(x - c)) dx
    ≥ 2kf(c) 에서 마지막 부등호는 등호로 바꿔야 하는거 아닌가요? ㄷㄷ 헷갈려서요. ㄷㄷ

  • 식신원정대 · 402337 · 12/09/01 23:06 · MS 2012

    ㄷ 이 왼쪽 식이 위로볼록인건 알겠는데 오른쪽 식에서 뭘뜻하는 건지 모르겟네요.... 알려주세요

  • 7th2 · 409435 · 12/09/22 16:22 · MS 2012

    4번

  • Bio-warrior · 398431 · 12/09/25 23:27 · MS 2011

    ㄷ에 f((a-b)/2) 가 f((b-a)/2)로 가면 ,, 조금 보이는데요 으악. a-b면 어떻게 해야죠.

  • just the one in the world · 420479 · 12/10/14 17:54

    무조건 2번 주장 ㅠㅠ ...