[확률문제] 본인이 하루 내내 걷다가 동전을 k개 주울 확률을 구하시오.
참고: lim_{x→inf}(1 + 1/x)x = lim_{x→-inf}(1 + 1/x)x = e
힌트: 하루 동안 동전을 주울 기회가 무한히 있다고 가정할 것.
만약에 동전을 주울 기회가 하루 내내가 아니라 하루에 n번만 주어졌고, 그 기회가 올 때 동전을 발견하고 주울 확률을 p라 하자.
그럼 하루에 줍는 동전이 평균적으로 np개 꼴인데, 이걸 q = np로 놓는다.
근데 그 n번의 기회 동안 k개 주울 확률은?
nCk pk(1-p)n-k
앞에서 q=np라고 놓았으니까 이걸 p에 대입하면
nCk (q/n)k (1 - q/n)n-k = nCk (q/n)k (1 - q/n)n (1 - q/n)-k
이제 하루 동안 동전을 주울 기회가 무한히 있다고 가정하자. 그럼 n→inf이다.
먼저 lim_{n→inf}(nCk (q/n)k)은 얼마인가?
nCk = n! / (k!(n-k)!)이므로 nCk (q/n)k = (n! qk) / (k!(n-k)!nk)
분자 n!과 분모 (n-k)!을 약분하면 분자에 n이 k개 남는데, 분모에 아직 nk이 있으므로 분모에도 n이 k개 남는다.
분자, 분모의 n의 개수가 쌤쌤이므로 n→inf에 의해 다 상쇄돼서 남는 건 qk/k!
이번엔 lim_{n→inf}(1 - q/n)n은 얼마인가?
x = -n/q라 놓자. 그럼 lim_{n→inf}(1 + 1/x)-xq이다. 그리고 n→inf이면 x→-inf이다.
따라서 맨 위의 식을 참고하면 lim_{x→-inf}(1 + 1/x)-xq = e-q
마지막으로 lim_{n→inf}(1 - q/n)-k은? 그냥 1이다.
정리하면 본인이 하루 동안 동전을 k개 주울 확률은 e-qqk/k!이다.
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